Эффект Арки и Уравнения Равновесия

Пускай имеется некоторая среда, к примеру: воздух, вода, или мелкий-мелкий песок. Я бы мог вместо песка написать упругое изотропное твердое вещество, но зачем усложнять жизнь, - она и так тяжелая. Пускай эта среда находится в однородном гравитационном поле. Однородность мы понимаем здесь в том смысле, что силовые линии направлены параллельно друг другу, а их густота при движении вдоль силовых линий может меняться. Мысленно проведем две плоскости на бесконечно близком расстоянии. Пускай эти плоскости будут ориентированы перпендикулярно силовым линиям.

Тогда тонкий слой будет находиться в равновесии, если сумма всех сил, действующих на него, будет равна нулю.

На тонкий слой действует гравитационная сила. Она направлена вниз, против оси r, и мы будем записывать её во всех последующих задачах со знаком минус.

Снизу на слой действует сила давления нижнего слоя: f_снизу = pS. Она направлена вверх, и мы записываем её со знаком плюс. Предположим, что давление растет вверх, и возрастает на dp при перемещении на расстояние dr вдоль оси r. Тогда сверху на слой действует сила: f_сверху = - (p + dp)S. Она направлена вниз, и мы записали её со знаком минус. Назовем результирующую силу давлений от соседних слоев градиентной силой. Во всех последующих задачах мы будем записывать её со знаком минус.

Таким образом, на слой действуют две силы, гравитационная и градиентная.

Сокращая полученное выражение на S, получим общеизвестное уравнение гидростатического равновесия:

В этом выражении стоит знак минус, поскольку давление растет вниз, а не так как мы предположили выше.

Равновесие в сферически симметричной задаче без поля.

Вы видели плоский веер? Его можно свернуть в стержень. Вы можете вообразить объемный веер. Его тоже можно свернуть в стержень.

Предположим, что мы свернули Солнце таким способом. Эта процедура дает нам возможность просуммировать силы «векторно». Если бы мы суммировали эти силы, не сворачивая сферический объект в стержень, то векторная сумма любых сил по отдельности была бы равна нулю. Сумма всех гравитационных сил была бы равна нулю, всех упругих сил ноль и т.д. При этом мы не смогли бы их сравнивать ни для объекта в целом, ни для каждого слоя по отдельности. Сворачивая объект в стержень, мы превращаем его из трехмерного в одномерный. Поэтому, далее употребляя слово сила, мы будем помнить, что это сумма радиальных составляющих.

При сворачивании центр объекта совпадет с нулём оси r. Поверхность объекта радиуса R совпадет с точкой R на оси r. Предположим, что ось продолжается как в положительном направлении, так и в отрицательном.

Тогда очевидно, что объект будет ускоряться в отрицательную сторону оси r, если сумма сил, направленная к центру будет превосходить сумму сил, направленных наружу. Объект будет ускоряться в положительную сторону оси r, если силы, направленные в объекте наружу, превосходят силы, направленные к центру. Объект не будет ускоряться, если сумма всех сил равна нулю.

Объект будет неустойчив внутри, если сумма сил действующих на какой-либо его внутренний слой в одну сторону, не равна сумме сил, действующих на него в противоположную сторону.

Пускай некоторая среда, к примеру: воздух, вода, или мелкий-мелкий песок, помещены в сферическую емкость, и среда сжата емкостью до некоторого давления p. Никакого внешнего поля по условию задачи нет. А значит давление в емкости везде одинаково. Рассмотрим бесконечно тонкий слой между двумя воображаемыми сферами радиусов r и r+dr. Пускай центры этих сфер совпадают с центром емкости.

Внешний и внутренний слои оказывают на тонкий сферический две силы. Происхождение этих сил понятно, они передаются от слоя к слою, от упруго растянутой оболочки емкости до её центра. Площадь соприкосновения с внешним слоем больше на dS. Следовательно, результирующая сила соседних слоёв имеет потенциальную природу. Поскольку эти силы берут начало от упруго растянутой оболочки, назовем их упруго-потенциаными силами. Результирующие этих сил для каждого слоя направлены к центру, и мы записываем их со знаком минус:

Больше никаких физических сил мы не видим. Значит, слой должен сжиматься. Но сжатия по условию задачи нет. Вспоминая, что даже при температуре 0 К частицы совершают нулевые колебания, и учитывая то, что внешняя поверхность слоя больше внутренней поверхности на dS, заключаем, что потенциальным силам противостоят кинетические силы. Назовем их геометро-кинетическими силами. Поскольку они направлены от центра, берём их со знаком плюс.

Тогда уравнение равновесия тонкого сферически симметричного слоя будет иметь вид:

Сумма сил, df_пот, фактически является результирующей от упругих сил оболочки, передаваемой от слоя к слою внутрь емкости. В этом непосредственно можно убедиться проинтегрировав силу, df_пот, от 0 до R.

₀∫^f df_пот =₀∫^S -pdS = - ₀∫^Rp8pr dr = -p4pR²= -pS. (6.а)

Таким образом, при записи условия равновесия для всего сферически симметричного объекта, мы учитываем эту силу один раз, и в уравнение равновесия записываем либо f_{упр.емк}, либо ₀∫^f df_пот.

Запишем интегральное уравнение равновесия для нашего случая, выбирая для записи f_{упр.емк}:

Равновесие в сферически симметричной задаче с гравитационным полем.

Если объект удерживается собственным гравитационным полем, и не сжат емкостью, то уравнение равновесия для слоя не будет содержать слагаемое, связанное с упругостью емкости, df_пот, но в нем появится другая потенциальная сила, df_грав.

Это новое уравнение гидростатического равновесия, в котором появилось слагаемое 2p/r. Подставив в него выражения, p = nkT, r = nm, mv²/2 = (3/2)kT, справедливые для идеального газа, мы получим уравнение гидростатического равновесия для идеального газового объекта:

Это же уравнение мы получали раннее, другими, совершенно независимыми способами.

Решение этого уравнение показало, что в центре Солнца давление газа равно нулю. Возникает вопрос, почему же в центре Солнца нулевое давление, а в сферической емкости, в задаче 2, давление не было равно нулю. Ответ простой - Солнце не замкнуто никакой емкостью. Если бы оно было заключено в емкость, и если бы эта емкость чуть-чуть сжала Солнце, то в ней бы возникли силы упругости, а мы смогли бы подсчитать однородно добавленное давление, которое уже не будет равно нулю.

Выражение df_грав + df_кин + df_град = 0 после подстановки df_кин + df_град= pdS- Sdp выглядит странно:

Ведь по физическому смыслу df_гравэто сила, и f = pS. При дифференцировании мы должны были получить df = p dS + S dp. Действительно, сила, оказываемая давлением p на некоторую поверхность, площадью S, равна произведению pS. Если мы увеличим площадь поверхности на dS, то сила возрастет на pdS. Если мы увеличим давление на dp, то сила возрастет на Sdp. Но не надо забывать, как мы получили свое выражение df_грав = Sdp - pdS. Наша df это элемент силы, который мы суммируем радиально, при переходе от слоя к слою в сферически симметричном объекте. Солнце мы свернули из пространственного веера в стержень.

Равновесие в емкости с учетом гравитационного поля.

Вообразим упругую сферу внутри самогравитирующего объекта. Если мы мысленно "сдуем" всё вещество, находящееся вне сферы, и, если температура сферы остается неизменной, то распределения давления, температуры, концентрации частиц внутри сферы не изменятся. Ясно, что газ оказывает на оболочку давление, и такое же давление оказывает оболочка на газ. В этом случае интуитивно понятно, что дифференциальное уравнение для слоя внутри оболочки своего вида не изменит:

Интегральное уравнение приобретет слагаемое f_{упр.емк}, а пределы интегрирования будут урезаны радиусом емкости:

f_{упр.емк} + ₀∫^R.емк(df_грав + df_град+ df_кин) = 0 (13)

Эта задача тривиальна, графики те же самые, что и в задаче выше, вид производных dp/dr, dT/dr, dn/dr тот же, и они верны на участке от r=0 до r=R_емк.

Совершенно другое решение мы получим, если поместим объект радиуса R в емкость радиуса R и начнем его сжимать, уменьшая радиус; или, если мы будем нагревать газ внутри объекта. При этом газ начнет оказывать на оболочку давление, тем большее, чем сильнее сжатие или нагревание газа.

Давление газа на оболочку, возникающее при этом, обозначим p_обол. Такое же давление оказывает оболочка на газ. Это давление передается без изменения внутрь емкости в любую её точку. Дифференциальное уравнение равновесия получит слагаемое df_пот = - p₀dS.

Это новое уравнение гидростатического равновесия, в котором арочное слагаемое превратилось в 2(p-p₀)/r.

Для газового объекта можно составить системы уравнений

Без оболочки	В оболочке
dp/dr = - gr + 2p/r. dT/dr = - (2/5)mg/k. dM/dr = 4pr²r g = GM/r². p=nkT. r=nm.	dp/dr = - gr + 2(p-p₀)/r dT/dr = - (2/5)mg/k. dM/dr = 4pr²r g = GM/r². p=nkT. r=nm.

Эти системы уравнений оказались достаточно сложными, чтобы их проинтегрировать аналитически, однако графики для них уже построены. Белее того, графики построены и для смеси фотонного и вещественного газа.

Для распределения давления в объектах типа воздушного шара, или капли, гравитационные эффекты не играют никакой роли. И внутри них существует давление p₀, а dp/dr стремится к нулю. Изменение давления и в капле воды, и воздушном шаре практически не изменяются вдоль радиусов.

Но в центрах газовых астрономических объектах p₀ стремится к нулю, поскольку снаружи их не сжимает никакая емкость. Хотя, как известно, Солнце излучает, и свет, отрываясь от поверхности Солнца, создает на поверхность давление. Таким образом, давление света на поверхность Солнца могло бы считаться давлением емкости. Но ясно, что его вклад очень незначительный. С другой стороны, роль оболочки может играть твердая, или жидкая поверхность объекта. В создании p₀ здесь будут играть силы Ван-дер-Ваальса. Чем больше p₀, тем плотнее центральная часть объекта, а если p₀ стремится к нулю, то давление и плотность в центре объекта тоже стремится к нулю.

Март, 2007. Обновлена программа http://darkenergy.narod.ru/arcru.exe Модели Звезд. Текстовый файл кода. txt-файл. Получены новые соотношения для теоремы о вириале. Добавлена конденсация газа в жидкость. Стало понятно, что стандартное уравнение гидростатического равновесия (dp/dr = -ρg) верно лишь для объектов с частицами с длиной свободного пробега больше радиуса объекта. А для обычного газа верно арочное уравнение: dp/dr = -ρg + 2p/r.

Весна, 2008. Создана программа http://darkenergy.narod.ru/arcbol.exe Аркбол-2008, exe-файл, моделирующая идеальный газ в собственном гравитационном поле. К сожалению, она не подтверждает ни арочное, ни общепринятое уравнение. Вероятная причина - частицы в программе имеют ненулевой радиус, а это уже неидеальный газ.

Эффект Арки и Уравнения Равновесия

Тонкий слой в однородном гравитационном поле.

Равновесие в сферически симметричной задаче без поля.

Равновесие в сферически симметричной задаче с гравитационным полем.

Равновесие в емкости с учетом гравитационного поля.