Релятивистская ракета.

Зачем обсуждать такие игрушки как "релятивистская ракета"? Мы ведь всё равно не сможем её построить. Однако, для того чтобы понять сущность ОТО и попытаться приблизиться к квантованию скоростей в СТО, необходимо еще раз проверить, какое же ускорение должно быть константой, чтобы акселерометр, установленный в ракете, все время показывал одно и то же значение. (В разделе выше было показано, что таковым ускорением является db/dt.) Акселерометром в релятивистской ракете может быть простой динамометр. Груз массой 100 грамм должен растягивать пружину динамометра так, чтобы всё время полета, показания динамометра были равны, к примеру, F=1Н. Тогда ускорение ракеты, ощущаемое космонавтом, будет равно земному g=10 м/с². Но наблюдатель, оставшийся на Земле, будет видеть, что наблюдаемое координатно-координатное ускорение dv/dt ракеты меняется.

Предположим, что это не так и dv/dt = const. Будем рассматривать движение, не меняющееся по направлению. Тогда можно перейти от вектора к скаляру dv/dt = const.

Движение ракеты можно рассматривать как её постоянный переход из одной сопутствующей системы отсчета в другую сопутствующую систему отсчета, где в начальное мгновение она покоится, а за время δt' приобретает скорость δv'. По закону сложения координатных скоростей, получим:

v_i+1 = (v_i + δv') / (1 + v_iδv'/c²).

Этому увеличению скорости соответствует дифференциал

dv = v_i+1- v_i.

Дифференциалу dv соответствует дифференциал dt, длительность которого в γраз больше длительности δt'. Запишем выражение dv/dt с учетом сказанного выше:

dv/dt = (v_i+1- v_i) / dt = ((v_i + δv') / (1 + v_iδv'/c²) - v_i) / dt = ((δv' - v_i²δv'/c²) / (1 + v_iδv'/c²)) / dt =
= (δv' / (1 + v_iδv'/c²)) / γ²dt = (δv' / (1 + v_iδv'/c²)) / γ³δt' ~ δv'(1-v_iδv'/c²) / γ³δt' ~δv' / γ³δt'
= (δv'/δt') / γ³.

Но величина δv'/δt' должна быть константой. Тогда поскольку величина γ³ меняется, то константой должна быть величина γ³dv/dt. А это есть не что иное, как db/dt, или dρ/dτ.

П р о в е р к а 1. Выполним проверку, предполагая, что db/dt = const. Рассуждая аналогично, запишем закон сложения собственных скоростей:

b_i+1 = b_i γ_db + δb' γ_b.

Этому увеличению скорости соответствует дифференциал

db = b_i+1- b_i,

которому соответствует промежуток времени dt, больший за δt' в γраз. Получим:

db/dt = (b_i γ_db + δb' γ_b - b_i) / dt = (b_i γ_db + δb' γ_b - b_i) / dt ~ δb' γ_b / dt = δb' / dt'.

Из того, что правая часть уравнения должна быть константой, заключаем, что и левая часть уравнения константа.

П р о в е р к а 2. Проделаем проверку, проведя выкладки для dρ/dt.

Предположим, что dρ/dt = const. За время δt' в мгновенно сопутствующей системе отсчета ракета приобретает быстроту δρ'. Быстрота аддитивна, следовательно

ρ_i+1 = ρ_i + δρ'.

Этому увеличению быстроты соответствует дифференциал

dρ = ρ_i+1- ρ_i.

Дифференциалу dρ соответствует дифференциал dt, длительность которого в γраз больше длительности δt'. Запишем выражение dρ/dt с учетом сказанного выше:

dρ/dt = (ρ_i+1- ρ_i) / dt = (ρ_i + δρ' - ρ_i) / γδt' = (δρ'/δt')/γ.

Но величина δρ'/δt' должна быть константой. Тогда поскольку величина γ меняется, то константой должна быть величина γdρ/dt. А это есть не что иное, как dρ/dτ, или db/dt.

П р о в е р к а 3. Проделаем окончательную проверку, проведя выкладки для dρ/dτ.

Предположим, что dρ/dτ = const. За время δt' в мгновенно сопутствующей системе отсчета ракета приобретает быстроту δρ'. Быстрота аддитивна, следовательно

ρ_i+1 = ρ_i + δρ'.

Этому увеличению быстроты соответствует дифференциал

dρ = ρ_i+1- ρ_i.

Дифференциалу dρ соответствует дифференциал dτ. Дифференциал dτ это и есть δt'. Запишем выражение dρ/dτ с учетом сказанного выше:

dρ/dτ = (ρ_i+1- ρ_i) / dτ = (ρ_i + δρ' - ρ_i) / δt' = dr'/δt'.

Но величина δρ'/δt' должна быть константой. Тогда величина dρ/dτ тоже является константой.

Таким образом, релятивистская ракета будет двигаться равноускоренно, если константой будет величина

dρ/dτ = db/dt = const.

Достигнет ли она скорости света? Если не прибегать к дополнительным гипотезам, о которых ниже, то скорость света для неё недостижима. Это видно из графиков скоростей для собственного равноубыстренного движения.

Теперь возникает вопрос, а как она должна быть сделана? Фотонная, аннигиляционная. Два бака, удерживаемые от контакта, к примеру, электромагнитами. Один бак наполнен веществом. Другой - антивеществом. В течение каждого равного промежутка собственного времени dτ в камеру сгорания поступает постоянно уменьшающаяся порция топлива dm. Уменьшение происходит из-за того, что масса ракеты M уменьшается по сравнению с её стартовой массой M₀, а передаваемый удельный импульс dp(M/M₀) за каждый промежуток времени dτ должен быть одинаков.

dp(M/M₀) = const (относительно τ).

На что похоже такое сгорание топлива? Предположим, прошел месяц полета, - сгорела десятая доля топлива. Проходит еще месяц, сгорает десятая доля от того, что осталось, т.е. 0,1*0,9=0,09. Три месяца полета: сгорит 0,1*0,89=0,089, а от ракеты останется: 1-0,1-0,09-0,089=0,721. Это ведь не что иное, как радиоактивный распад.

Возникает другой вопрос, а какая доля топлива должна сгорать в единицу времени, чтобы ракета испытывала ускорение g? И сколько будет длиться полет до того момента, когда в "невесомых" баках ракеты останется по одной частице (античастице)? Чему равно среднее время жизни частиц топлива? Это ведь то время, которое требуется на сгорание оставшихся двух частиц, и которое мы должны добавить к только что полученному времени, чтобы узнать, за сколько времени сгорит все топливо в среднестатистической релятивистской ракете.

Попытаемся решить все это. Пускай стартовая масса ракеты будет равна 1000 кг. Для того чтобы эта ракета испытывала ускорение 10 м/с², на неё должна действовать стартовая сила 10000 Н. Пренебрегая потерянной массой в первую секунду, определим, чему должен быть равен импульс, переданный ракете выброшенными из неё фотонами: р = 10000 кг·м/с. Этот импульс получен за счет аннигиляции топлива массой m = p/c = 33,3 мг. Масса ракеты в произвольный момент времени может быть вычислена по формуле: M=M₀e^-τ/T, где T - среднее время жизни частицы топлива, τ - собственное время в ракете. Кроме того, по истечению первой секунды M=M₀-m. Используя две последние формулы, определяем среднее время жизни частицы топлива: T~1 год. Тогда период полураспада T_1/2=Tln2=0.66 года. Время, которое пройдет до того момента, когда останутся одна частица и одна античастица, определим, пользуясь формулой M=M₀e^-τ/T:

2*1,7*10^-27 = 1000*e^-τ/1год.

Получим τ₁ = 68 лет. Прибавляя к этому времени среднее время жизни пары, частица-античастица, мы получим τ = 69 лет. Очевидно, что по земным часам до этого момента пройдет значительно больше времени.

А теперь интересно выяснить, а сколько времени потребуется на то, чтобы облететь всю Вселенную, если она замкнута. В течение этого полёта половину пути надо ускоряться и половину пути тормозиться. Радиус кривизны Вселенной составляет 2*10²⁵м. Тогда половина пути будет равна произведению радиуса кривизны на число p. Составим уравнение:

L/2 = ₀∫ ^t dl = ₀∫ ^t bdτ = ₀∫ ^t c sh(ρ/c)dτ = ₀∫ ^t c sh(gτ/c)dτ = (c²/g)ch(gτ/c) |₀^τ + const.

Константу при интегрировании получаем исходя из того, что L/2 = 0 при τ = 0: const = -c²/g.

Для собственного времени на прохождение половины пути получим:

τ_1/2 = (c/g) Arch (Lg/c² + 1).

Подставляя данные, находим: τ_1/2 = 22 года.

На полный полет времени уйдет в два раза больше.

Итак, даже если бы удалось построить релятивистскую ракету, то облет Вселенной по собственным часам составляет 44 года. По часам наблюдателя, оставшегося на Земле, время полета составит величину, примерно равную условному возрасту Вселенной, что составляет порядка 13,3 млрд. лет.

Если допустить, что Вселенная представляет собой пространственно-временной кристалл, то это значит, что мы запускаем релятивистскую ракету одновременно и сейчас, и в моменты времени t=k*13,3 млрд. лет и назад, и вперед, где k - целые числа. Поэтому, если в такой Вселенной запустить релятивистскую ракету сегодня в направлении, к примеру, в точку весеннего равноденствия, то уже за несколько лет до запуска мы сможем её видеть, летящей к нам и тормозящейся с противоположной стороны неба, т. е. из точки осеннего равноденствия.

Если в реальной Вселенной тип ускорения, которое должно оставаться постоянным для релятивистской ракеты, будет не db/dt=dρ/dτ, а к примеру, dρ/dt, то облет Вселенной произойдет не за десятки лет, а за время сравнимое году. Однако, без дополнительных гипотез здесь не обойтись.

Через несколько лет после написания этой страницы удалось выяснить, что электроны облетают всю нашу Вселенную за значительно более короткий срок. Но по их собственным часам. Об этом читай в следующих разделах.

Вперёд: Разные формы записи преобразования координат.
Назад: Четырех-ускорения.
К оглавлению раздела Некоторые вопросы СТО.

Последнее обновление страницы: 3 марта 2006 года.