Потрясающие симметрии пространства-времени и матаматических функций. Виды скорости в теории относительности.

Эта страничка сейчас (7 мая 2026) редактируется.

Кратко

Многогранник скорости

V = (U, Q, Ψ, W)

Красивые связи в симметричной записи при С=1

U = W · γ^-1 = W / (1 + W²)^1/2
W = U · γ⁺¹ = U / (1 - U²)^1/2
γ = (1 - U²)^-0,5 = cos^-1Q
γ = (1 + W²)^+0,5 = ch⁺¹Ψ
U = sinQ = thΨ
W = shΨ = tgQ
tg(Q/2) = th(Ψ/2)

Странный γ-каскад при ускоренном движении

dU/dt = γ⁰dU/dt = (пусто)
dQ/dt = γ¹dU/dt = dU/dτ
dΨ/dt = γ²dU/dt = dQ/dτ
dW/dt = γ³dU/dt = dΨ/dτ
(пусто) = γ⁴dU/dt = dW/dτ

Квантовая скорость и быстрота - давно известные функции Гудермана и Ламберта

Q = gdΨ = ₀∫^Ψdψ/chψ = ₀∫^Ψ dψ/γ
Ψ = lamQ = ₀∫^Qdq/cosq = ₀∫^Qdq·γ

Если V стремится к С, то Ψ стремится к бесконечности, а Q стремится к π/2. Релятивистская длина псевдоокружности (право-левая или нижне-верхняя гипербола) становится равной длине окружности, 2πr . Релятивистскую длину мы получаем делением каждого элемента мировой линии dψ на соответствующий лоренц-фактор γ=chψ. Обратно тоже верно: умножая каждый элемент дуги окружности в плоскости (x, ict) на соответствующий лоренц-фактор мы получим:
бесконечное значение аргумента гиперболического поворота Ψ_max=∞, или
конечное значение, равное с точность до простого мнодителя величине Ψ_max≈94,2939.

Детальней

В теории относительности экспериментально доказано, что время в движущейся системе течет медленнее, относительно течения времени в покоящейся системе отсчета. Первое именуют собственное время и обозначают греческим символом τ, а второе - координантое время, t. Исследуя движение тел в системах К и К', мы можем ввести два вида на один и тот же темп движения, как в черчении. Назовём их координатной скоростью и собственной скоростью. Как оказалось, помимо этих двух видов описания одного и того же движения, можно ввести ещё два вида: квантовую скорость и быстроту.

Обозначения:
Я пытался здесь навести порядок, чтобы мои обозначения соответствовали уже принятым в большинстве источников, но сделать это пока невозможно, поскольку, к примеру, в англоязычной Википедии в статьях о собственной скорости и о быстроте они обозначают их одной и той же буквой. В российском сегменте Интернета за термином собственная скорость прячется куча статей о детской задачке о скорости лодки относительно воды в реке. Кроме того, мне нужно менять свои старые обозначений. Но с другой стороны, в некоторый моих старых обозначениях симметрии выглядят существенно красивеё, по сравнению с новыми обозначениями. Поэтому я привожу обозначения в виде таблицы, показывая в третьем столбце, как получить данный вид скорости, если известно его значение в другом виде. Заглавными буквами обозначаем величины в релятивистской сиcтеме единиц, где С=1, а прописными - в любой другой системе, к примеру, в СИ, где с = 299792458 м/с.

U = vt/c vt = dr/dt	координатная скорость ю-сть, u-locity	U = sinQ = thΨ = = W/√(1+W2)
Q = vq/c vq	квантовая скорость q-рота, q-pidity	Q = arcsinU = arctg shΨ = = 2arctg th(Ψ/2) = arctgW
Ψ = vψ/c vψ	быстрота ψ-рота, ψ-pidity	Ψ = arthU = arth sinQ = = 2arth tg(Q/2) = arshW
W = vτ/c vτ=dr/dτ	собственная скорость даби-сть, w-locity	W = tgQ = shΨ = = U/√(1-U2)

В прошлом разделе на примерах простейших задач мы показали, что привычное нам понятие скорости распадается на целый пакет физических величин, который мы назвали многогранником скорости V, представленный четырьмя гранями (U, Q, Ψ, W) в релятивистских единицах, где С=1.
Тогда в СИ: (v_t, v_q, v_ψ, v_τ)
U - координатная скорость, произносим "ю-сть";
W - собственная скорость, "даби-сть";
Ψ - гиперболический угол скорости, быстрота, пси-рота;
Q - тригонометрический угол скорости, квантовая скорость, кю-рота.

- Нужни ли это делать?
- Да, ибо Природе всё равно, что мы о ней думаем и она в одних случаях работает с величиной U, в других - с W и т.д.
Если мы что-то не замечаем, то можем допустить ошибку. При малых скоростях все эти величины очень близки друг к другу. Но при больших значениях дают совершенно разные результаты.

Если кто-то не читал предыдущую страницу, то вот Простейшая задача:

Будущее. Человечество научилось совершать межзвездные перелёты. Капитан посмотрел на карту звездного неба, затем на часы, и сказал: "Мы пролетели между звёздами, расстояние между которыми 2 световых года всего лишь за год точно. Чему равна наша скорость?
Кадет Перов, к доске!".

- Разделив пройденный путь S, полученный согласно карте, на время τ, согласно нашим часам, мы получим собственную скорость, называемую д'аби-сть.
W = S/τ = 2.
Для того, чтобы найти нашу координатную скорость ю-сть, необходимо дабисть разделить на гамма. Гамма равно корню из единицы плюс дабисть в квадрате.
γ = √(1+W²) = √5.
V = W / γ = 2 / √5 = 0,894.
Как и положено, наша координатная скорость оказывается меньше координатной скорости света.

- Молодец! Ещё один вопрос. Можно ли пролететь расстояние 100С за одну секунду? Противоречит ли это теории относительности?
- Теоретически можно. Дабисть может быть больше С. Противоречия здесь нет, поскольку вычисленная юсть все равно будет меньше координатной скорости света. Но практически это опасно, поскольку шквал высокоэнергичных частиц и пылинок внутри Галактики может разрушить стенки нашего корабля.
- Отлично, Перов! Завтра мы выходим из опасной зоны и переходим в ускоренный режим нашего путешествия.
- Ура. Наконец-то мы будем весомы.

ПРОДОЛЖИМ РЕДАКТИРОВАНИЕ ПОЗЖЕ.
Ниже старые обозначения: b - собственная скорость.

Фактически в природе существует два вида измеримых скоростей, основанные на разных методах измерения. Поскольку обе эти скорости измеримы, то значит они обе реальны. Измеримость здесь следует понимать в более широком смысле: речь идет не просто об измерении скорости с помощью линеек и часов, а воздействуем одного объекта на другой объект, со всеми вытекающими физическими последствиями. Взгляните еще раз на рисунок, и мысленно прочувствуйте два вида скорости. Собственная скорость не менее физична, чем координатная скорость. Как мы увидим далее, обе скорости дополняют друг друга. Выбрасывать собственную скорость из физики подобно отказу от косинуса в геометрии; а точнее, из СТО выброшен синус гиперболический: sh(ρ/c)=b/c, где ρ- третий вид скорости, быстрота.., или тангенс тригонометрический tg(v_q/c)=b/c, где v_q- четвертый вид скорости, квантуемая скорость. Много скоростей? Не пугайтесь. Все эти скорости есть лишь функции единого темпа движения. Аналогичная картина в геометрии. Есть угол поворота. И есть функции угла поворота: sin, cos, tg, ctg... Координатная и собственная скорость измеримы, а быстрота и квантуемая скорость легко вычисляемы. 

Но дает ли большую ясность введение двух измеримых скоростей в физике? Давайте посмотрим, к чему это приведет. А для этого дадим более точные формулировки для этих разных скоростей.

Координатная скорость. Для её определения необходимо наличие системы координат и совокупности синхронизированных часов, покоящихся в разных точках системы. Координатной скоростью точки, при её равномерном и прямолинейном движении, называется отношение пути, пройденного точкой, к координатному времени её движения.

Координатное время движения есть разность показаний часов, синхронизированных между собой, и, покоящихся в начальной и конечной точках пути.

Собственная скорость. Для её определения необходимо наличие системы координат и часов, связанных с движущимся предметом. Собственной скоростью тела, при его равномерном и прямолинейном движении, называется отношение пути, пройденного телом, к собственному времени его движения.

Собственное время движения есть разность показаний одних и тех же часов, связанных с движущимся телом.

Координатную скорость используют в физике и называют её просто скорость:

v=dr/dt; v=v_xi+v_yj+v_zk.

Собственное время используют в физике. Его обозначают буквой τ, и интервал собственного времени оказывается меньше интервала координатного времени в γраз:

dτ = dt/γ = dt·(1-v²/c²)^1/2.

Собственную скорость используем все мы, и тоже называем её скоростью. В физике эта величина соответствует пространственной части четырехмерного вектора скорости. Собственная скорость не ограничивается значением координатной скорости света, с=299792458м/с. Собственная скорость света равна бесконечности. Обозначим собственную скорость движения некоторого тела буквой b. Тогда

b = dr/dτ;
b = b_xi+b_yj+b_zk;
b = vγ.

Модулю координатной скорости света в английском языке соответствует слово speed. Слово velocity является его синонимом, и его чаще применяют во всех остальных случаях. В русском языке и то, и другое слово переводится как скорость. Однако, замечаем, что прибор, с перекочевавшим к нам названием "спидометр", меряет не совсем то, о чем говорит его название. Фактически он меряет не модуль координатной скорости, а модуль собственной скорости. Пускай длина окружности покоящегося колеса автомобиля будет равна одному метру. Если автомобиль движется, то длина этой окружности сокращается. Но относительно системы координат, связанной с дорогой, нижняя часть колеса, контактирующая с дорогой, не движется. Тогда, если колесо автомобиля делает десять оборотов в секунду, то автомобиль перемещается на 10 метров. И его координатная скорость будет равна 10 м/с. Но показания спидометра будут чуть-чуть больше. Действительно, валик спидометра делает те же десять оборотов за секунду по часам, связанным с дорогой. А в автомобиле этот промежуток времени будет меньше в γраз меньше. Спидометр находится в машине, "его часы" тоже замедляются и он показывает не координатную скорость, а собственную. В этом случае имеем:

v =10м/с;
b = 10,0000000000000056 м/с.

Разница мизерна, но смысл в том, что спидометр меряет не то, о чем говорит его название.

Коэффициент γ, приводящий к сокращению длин, замедлению времени и т.п., может быть выражен и через координатную скорость, и через собственную:

γ = 1/(1-v²/c²)^1/2 = (1+b²/c²)^1/2.

Координатная и собственные скорости могут быть выражены симметрично друг через друга:

b = vγ = v/(1-v²/c²)^1/2;
v = b/γ = b/(1+b²/c²)^1/2.

И координатная и собственная скорость измеримы, но в физике есть еще одна скорость: быстрота.

---

Вперёд: Параметр быстроты и быстрота.
Назад: Простые задачи, которые часто решают неверно.
К оглавлению раздела Некоторые вопросы СТО.

---

23 Марта 2009. Оказывается собственную скорость изобрели раньше меня да еще и назвали точно также. Более того, обычную скорость уточнили так же как и я, и назвали "координатная скорость". Не иначе списали с моего сайта, но я и этому рад. Шучу, конечно. С 2007-го года у меня есть еще одна скорость - "квантуемая скорость". Ее еще можно назвать тригонометрическая, если быстроту переименовать симметрично в гиперболическую скорость. Квантуемая скорость характеризует поворот в пространстве-времени, - дает минимальный квант, указывает на структуру пространства-времени. Вот выдержка из Википедии о собственной скорости:

(В перевод для избежание путаницы я вношу свои обозначения величин.)

Собственная скорость. Из Википедии.^[12]

Собственная скорость, т.е. путь, пройденный за единицу времени, по часам путешественника, равняется координатной скорости при малых скоростях. При любых скоростях она равна импульсу единичной массы, и поэтому не имеет верхнего предела. Это одна из трех производных в специальной теории относительности (координатная v, собственная  b и Лоренц-фактор γ) которые описывают темп движения. Каждая из этих величин легко связывается с гиперболическим скоростным углом или быстротой ψ. (Добавим сюда еще квантуемую скорость q соответствующую тригонометрическому повороту на угол Q в пространстве-времени. е понял, что это. Не путать с углом поворотом осей, Ф.)

В плоском пространстве-времени собственная скорость есть отношение пройденного пути по заранее размеченной карте к собственному времени τ истекшему по часам путешествующего объекта. Она равна импульсу объекта деленному на его массу покоя, и представляет собой пространственно-подобные компоненты четырех-скорости объекта. В монографии Уильяма Шурклиффа (William Shurcliff)^[1] упоминается о её раннем исользовании в текстах Сирса и Брехме (Sears and Brehme). Фрондорф (Fraundorf) исследовал её педагогическую ценность^[3] а Унгар, Байлис и Хестенес (Ungar^[4], Baylis^[5] and Hestenes^[6]) проверили её в групповой теории и в перспективах геометрической алгебры. Собственную скорость иногда связывают с быстротой^[7]. В оригинале написано слово celerity, что означает быстрота. В английском языке есть еще одно слово с этим же значением быстроты, - rapidity, ψ.

В отличие от более известной координатной скорости, собственная скорость полезна при описании в супер-релятивистских и около-релятивистских движений. Подобно координатной скорости, но в противоположность четырех-скорости, она базируется на трехмерном срезе пространства времени с помощью карты. Это делает её более полезной в инженерных приложениях с применением карт и менее полезной для получения бескартного образа...

...Координатная скорость электрона с энергией 250 GeV которую он будет иметь на Международном Линейном Коллайдере^[9] (ILC) будет та же величина с, а координатная 489000 световых секунд в секунду.

Во, блин! Мало им LHC, уже думают об ILC.

Собственная скорость также полезна для сравнения релятивистских скоростей движущихся вдоль одной линии с высокой скоростью. В этом случае b_AC = γ_ABγ_BC(v_AB+v_BC) где A, B и C относятся к различным объектам или системах отсчета^[10]. К примеру b_AC есть собственная скорость объекта А относительно объекта С. Следовательно каждый из двух электронов (A и C) в лобовом столкновении с энергиями по 45 ГэВ, относительно лабораторной системы, увидят приближение друг друга со скоростями v_AC ~c и b_AC = 88000²(1+1) ~1.55×10¹⁰ световых секунд в секунду. Так коллайдеры могут помочь исследовать высоко скоростные столкновения...

Землю они могут уничтожить, эти коллайдеры. Кстати для протонов на LHC, при энергиях по 7 ТэВ, относительные скорости столкновений будут: v~c и b=49000000с.

---

1. W. A. Shurcliff (1996) Special relativity: the central ideas (19 Appleton St, Cambridge MA 02138)
2. Francis W. Sears & Robert W. Brehme (1968) Introduction to the theory of relativity (Addison-Wesley, NY) LCCN 680019344, section 7-3
3. P. Fraundorf (1996) "A one-map two-clock approach to teaching relativity in introductory physics" (arXiv:physics/9611011)
4. A. A. Ungar (2006) "The relativistic proper-velocity transformation group", Progress in Electromagnetics Research 60, 85-94.
5. W. E. Baylis (1996) Clifford (geometric) algebras with applications to physics (Springer, NY) ISBN 0-8176-3868-7
6. D. Hestenes (2003) "Spacetime physics with geometric algebra", Am. J. Phys. 71, 691-714
7. Bernard Jancewicz (1988) Multivectors and Clifford algebra in electrodynamics (World Scientific, NY) ISBN 9971502909
8. G. Oas (2005) "On the use of relativistic mass in various published works" (arXiv:physics/0504111)
9. B. Barish, N. Walker and H. Yamamoto, "Building the next generation collider" Scientific American (Feb 2008) 54-59
10. This velocity-addition rule is easily derived from rapidities α and β, since Sinh[α+β]=Cosh[α]Cosh[β](Tanh[α]+Tanh[β]).
11. Edwin F. Taylor & John Archibald Wheeler (1966 1st ed. only) Spacetime Physics (W.H. Freeman, San Francisco) ISBN 0-7167-0336-X
12. Proper velocity. Wikipedia.