Виды ускорений в СТО.Итак, мы показали, что существует два вида измеримых скоростей. Кроме того, быстрота, измеряемая в тех же единицах, тоже очень интересна. При малых значениях все эти скорости равны. А сколько же существует ускорений? Какое ускорение должно быть константой при равноускоренном движении релятивистской ракеты, чтобы космонавт всегда оказывал на пол ракеты одну и ту же силу, чтобы он не стал невесомым, или чтобы он не умер от перегрузок? Введем определения разных видов ускорений. Координатно-координатное ускорение dv/dt это изменение координатной скорости, измеренное по синхронизированным координатным часам, расставленным по ходу движения пробного тела: dv/dt=d2r/dt2. Забегая вперед, заметим , что dv/dt = 1·dv/dt = γ0dv/dt. Координатно-собственное ускорение dv/dτ это изменение координатной скорости, измеренное по собственным часам, связанным с движущимся телом: dv/dτ=d(dr/dt)/dτ
= γd2r/dt2.
Собственно-координатное ускорение db/dt это изменение собственной скорости, измеренное по синхронизированным координатным часам, расставленным по ходу движения пробного тела: db/dt = d(dr/dτ)/dt
= γ3v(vdv/dt)/c2
+ γdv/dt. Собственно-собственное ускорение db/dτ это изменение собственной скорости, измеренное по собственным часам, связанным с движущимся телом: db/dτ = d(dr/dτ)/dτ
= γ4v(vdv/dt)/c2
+ γ2dv/dt. Сравнивая показатели при коэффициенте γ в четырех типах ускорений, записанных выше, замечаем, что в этой группе отсутствует член с коэффициентом γ2 при параллельных ускорениях. Но мы еще не взяли производные от быстроты. Это ведь тоже скорость. Возьмём производную по времени от быстроты, воспользовавшись формулой v/c = th(ρ/c): dρ/dt = (c·arth(v/c))' = γ2dv/dt. А если взять dρ/dτ, получим: dρ/dτ = γ3dv/dt, или dρ/dτ = db/dt. Следовательно, мы имеем две измеримые скорости v и b, и ещё одну, неизмеримую, но наиболее симметричную, быстроту ρ. И шесть видов ускорений, два из которых dρ/dτ и db/dt совпадают. Какое же из этих ускорений является собственным, т.е. ощущаемым ускоряющимся телом? К собственному ускорению мы вернемся ниже, а пока выясним, какое ускорение входит во второй закон Ньютона. Как известно, в релятивистской механике второй закон механики, записанный в виде f=ma, оказывается ошибочным. Вместо него силу и ускорение связывает уравнение f = m (γ3v(va)/c2 + γa), которое является основой для инженерных расчетов релятивистских ускорителей. Если мы сравним это уравнение с только что полученным уравнением для ускорения db/dt: db/dt = γ3v(vdv/dt)/c2 + γdv/dt, то заметим, что они отличаются лишь множителем m. То есть, можно записать: f = m·db/dt. Последнее уравнение возвращает массе статус меры инертности в релятивистской механике. Сила, действующая на тело, пропорциональна ускорению db/dt. Коэффициентом пропорциональности является инвариантная масса. Вектора силы f и ускорение db/dt сонаправлены при любой ориентации векторов v и a, или b и db/dt. Формула, записанная через ускорение dv/dt, не дает такой пропорциональности. Сила и координатно-координатное ускорение в общем случае не совпадают по направлению. Параллельными они будут лишь в двух случаях: если вектора v и dv/dt параллельны друг другу, и если они перпендикулярны друг другу. Но в первом случае сила f=mγ3dv/dt, а во втором - f=mγdv/dt. Таким образом, в законе Ньютона мы должны использовать ускорение db/dt, то есть, изменение собственной скорости b, измеренное по синхронизированным часам. Возможно с таким же успехом можно будет доказать, что f= mdρ/dτ, где dρ/dτ - вектор собственного убыстрения, но быстрота величина неизмеримая, хотя и легко вычисляема. Будет ли верно векторное равенство, сказать не берусь, но скалярное равенство справедливо в силу того, что dρ/dτ=db/dt и f=mdb/dt. Дальше: Четырех-ускорения.
|