Виды ускорений в СТО.

Итак, мы показали, что существует два вида измеримых скоростей. Кроме того, быстрота, измеряемая в тех же единицах, тоже очень интересна. При малых значениях все эти скорости равны.

А сколько же существует ускорений? Какое ускорение должно быть константой при равноускоренном движении релятивистской ракеты, чтобы космонавт всегда оказывал на пол ракеты одну и ту же силу, чтобы он не стал невесомым, или чтобы он не умер от перегрузок?

Введем определения разных видов ускорений.

Координатно-координатное ускорение dv/dt это изменение координатной скорости, измеренное по синхронизированным координатным часам, расставленным по ходу движения пробного тела:

dv/dt=d²r/dt².

Забегая вперед, заметим , что dv/dt = 1·dv/dt = γ⁰dv/dt.

Координатно-собственное ускорение dv/dτ это изменение координатной скорости, измеренное по собственным часам, связанным с движущимся телом:

dv/dτ=d(dr/dt)/dτ = γd²r/dt².
dv/dτ = γ¹dv/dt.

Собственно-координатное ускорение db/dt это изменение собственной скорости, измеренное по синхронизированным координатным часам, расставленным по ходу движения пробного тела:

db/dt = d(dr/dτ)/dt = γ³v(vdv/dt)/c² + γdv/dt.
Если v || dv/dt, тогда db/dt = γ³dv/dt.
Если v перпендикулярно dv/dt, тогда db/dt = γdv/dt.

Собственно-собственное ускорение db/dτ это изменение собственной скорости, измеренное по собственным часам, связанным с движущимся телом:

db/dτ = d(dr/dτ)/dτ = γ⁴v(vdv/dt)/c² + γ²dv/dt.
Если v || dv/dt, тогда db/dτ = γ⁴dv/dt.
Если v перпендикулярно dv/dt, тогда db/dτ = γ²dv/dt.

Сравнивая показатели при коэффициенте γ в четырех типах ускорений, записанных выше, замечаем, что в этой группе отсутствует член с коэффициентом γ² при параллельных ускорениях. Но мы еще не взяли производные от быстроты. Это ведь тоже скорость. Возьмём производную по времени от быстроты, воспользовавшись формулой v/c = th(ρ/c):

dρ/dt = (c·arth(v/c))' = γ²dv/dt.

А если взять dρ/dτ, получим:

dρ/dτ = γ³dv/dt,

или dρ/dτ = db/dt.

Следовательно, мы имеем две измеримые скорости v и b, и ещё одну, неизмеримую, но наиболее симметричную, быстроту ρ. И шесть видов ускорений, два из которых dρ/dτ и db/dt совпадают. Какое же из этих ускорений является собственным, т.е. ощущаемым ускоряющимся телом?

К собственному ускорению мы вернемся ниже, а пока выясним, какое ускорение входит во второй закон Ньютона. Как известно, в релятивистской механике второй закон механики, записанный в виде f=ma, оказывается ошибочным. Вместо него силу и ускорение связывает уравнение

f = m (γ³v(va)/c² + γa),

которое является основой для инженерных расчетов релятивистских ускорителей. Если мы сравним это уравнение с только что полученным уравнением для ускорения db/dt:

db/dt = γ³v(vdv/dt)/c² + γdv/dt,

то заметим, что они отличаются лишь множителем m. То есть, можно записать:

f = m·db/dt.

Последнее уравнение возвращает массе статус меры инертности в релятивистской механике. Сила, действующая на тело, пропорциональна ускорению db/dt. Коэффициентом пропорциональности является инвариантная масса. Вектора силы f и ускорение db/dt сонаправлены при любой ориентации векторов v и a, или b и db/dt.

Формула, записанная через ускорение dv/dt, не дает такой пропорциональности. Сила и координатно-координатное ускорение в общем случае не совпадают по направлению. Параллельными они будут лишь в двух случаях: если вектора v и dv/dt параллельны друг другу, и если они перпендикулярны друг другу. Но в первом случае сила f=mγ³dv/dt, а во втором - f=mγdv/dt.

Таким образом, в законе Ньютона мы должны использовать ускорение db/dt, то есть, изменение собственной скорости b, измеренное по синхронизированным часам.

Возможно с таким же успехом можно будет доказать, что f= mdρ/dτ, где dρ/dτ - вектор собственного убыстрения, но быстрота величина неизмеримая, хотя и легко вычисляема. Будет ли верно векторное равенство, сказать не берусь, но скалярное равенство справедливо в силу того, что dρ/dτ=db/dt и f=mdb/dt.

Дальше: Четырех-ускорения.
Назад: Четырехмерные скорости.
К оглавлению раздела Некоторые вопросы СТО.