Параметр быстроты y, быстрота r.


Координатная и собственная скорости не являются аддитивными. Закон сложения сонаправленных координатных скоростей напоминают запись гиперболического тангенса от суммы двух углов. Это будет заметнее, если мы разделим обе стороны уравнения на с:

v = (v1+v2) / (1 + v1v2/c2),
v/c = (v1/c+v2/c) / (1 + (v1/c)(v2/c)),
thy = th(y1+y2) = (thy1+thy2) / (1+thy1thy2).

Угол, в отличие от тангенса угла, - величина аддитивная. Поэтому в специальной теории относительности были введены безразмерный параметр быстроты y и быстрота r, размерность которой совпадает с размерностью скорости.

y=y1+y2;
r=r1+r2;
r
= y c.

Координатная скорость и коэффициент гамма могут быть выражены через гиперболические функции от этих величин. Оказалось, что собственная скорость дополняет данную группу равенств

v/c = thy = th(r/c);
g = chy = ch(r/c);
b/c = shy = sh(r/c).

На рисунке ниже показаны графики b/c=shy, v/c=thy, r/c=y.

Параметр быстроты и быстроту можно получить по формулам

y = r/c = Arth(v/c) = (1/2)ln((1+v/c)/(1-v/c)),
y
= r/c = Arsh(b/c) = ln(b/c + g) = ln(b/c + sqr(1+b2/c2)),
y
= r/c = Arch(sqr(1+b2/c2))=Arch(g).

Закон сложения для множества одинаковых сонаправленных координатных скоростей v0 может быть записан в виде

v/c = thy = th(ny0) = th(nArth(v0/c)).

Или для множества vi, параллельных между собой, но разных по абсолютному значению:

v/c = th(Arth(v1/c)+Arth(v2/c)+Arth(v3/c)+...),

Закон сложения сонаправленных собственных скоростей напоминает выражения для синуса гиперболического от суммы двух углов:

b = b1g2+b2g1,
shy = sh(y1+y2) = shy1chy2+shy2chy1.

Для множества одинаковых сонаправленных собственных скоростей b0 получим:

b/c=shy=sh(ny0)=sh(nArsh(b0/c)).

Или для множества bi, параллельных между собой, но разных по абсолютному значению:

b/c=sh(Arsh(b1/c)+Arsh(b2/c)+Arsh(b3/c)+...).

Эти величины можно выразить через экспоненты:

v/c = thy = (ey-e-y)/(ey+e-y),

b/c = shy = (ey-e-y)/2,

g = chy = (ey+e-y)/2.

Пользуясь соотношением ch2y - sh2y = 1, проверим справедливость формулы g=sqr(1+b2/c2):

g2 - b2/c2 = (1+b2/c2) - b2/c2 = 1.


Примечание:

Если система K' (вагон) движется относительно системы K (вокзал) со скоростью v1, и, если некоторая точка движется в системе K' со скоростью v2, направленной под углом a к скорости, то скорость этой точки относительно системы K будет определяться по формуле:  

v2 = (v12 + v22 + 2v1v2Cosa - c-2 v12v22Sin2a) / (1 + c-2v1v2Cosa)2. Einstein A Jahrbuch Radioaktivitat Elektronik 411 (1908) p. 423.

Результирующий мнимый угол поворота  j = iy можно получить по формуле Зоммерфельда (1909):

cosj = cosj1cosj2 - sinj1 sinj2cosa.

Пользуясь формулами cosj = cos iy = ch y; sin j = sin iy = i sh y, формула Зоммерфельда дает выражение для результирующего параметра быстроты:

chy = chy1chy2 + shy1 shy2cosa.

Используя связь между g = chy =1/cosQ, можно получить формулу для результирующего параметра квантуемой скорости:

cosQ = cosQ1cosQ2 / (1+ sinQ1 sinQ2cosa).

И окончательно, для результирующего коэффициента g и результирующей собственной скорости:

g = g1g2 + b1b2cosa = g1g2(1 + v1v2cosa).

b2 = (g1g2 + b1b2cosa)2 - 1.


Дальше: Интервал.
Назад: Два вида измеримых скоростей в СТО.
К оглавлению раздела Некоторые вопросы СТО.
К другим разделам Космической Генетики.

Иван Горелик

Моё резюме


TopList

Hosted by uCoz