Четырех-ускорения в СТО.Назад: Виды ускорений в СТО. Вектора различных 4-ускорений получим взятием производной от V=(v,ic), B=(b,icγ), v=(v/с,i), b=(b/с,iγ) по t и τ: dV/dt = (dv/dt,
0), Умножая скалярно 4-вектор собственной скорости B = (b, icγ), или b=(b/с,iγ) на любой из векторов ускорений dB/dt, dB/dτ, db/dt, db/dτ, замечаем, что их скалярные произведения равны нулю, то есть векторы B и b ортогональны векторам dB/dt, dB/dτ, db/dt, db/dτ, а сами параллельны между собой: (b·db/dt) = 0, (b·db/dτ) = 0, и т.д. для любых комбинаций b и B. Но 4-вектора v-скоростей и v-ускорений не являются ортогональными. 4-ускорение у "Ландау и Лифшиц".Во 2-ом томе Теоретической Физики (Теория Поля, М. Наука, 1988, стр.41) мы находим параграф о четырехмерной скорости и 4-ускорении. Я переписываю сюда этот параграф красным цветом, добавляя свои комментарии черным цветом. Из обычного трёхмерного вектора скорости можно образовать и четырехмерный вектор. Такой четырехмерной скоростью (4-скоростью) частицы является вектор ui = dxi/ds. (7,1) В (7,1) записан контравариантный вектор, и предполагается, что у ковариантного вектора пространственные компоненты имеют другой знак. Мы пишем то же самое через комплексные вектора, содержащие i=sqr(-1): b = dR/ds = dR/(cdτ)= dr/dτ = (b/с, iγ). Для нахождения его компонент замечаем, что согласно (3,1) ds = c dt sqr(1-v2/c2), где v - обычная трехмерная скорость частицы. Поэтому u1 = dx1/ds = dx / (c dt sqr(1-v2/c2)) = vx / (c sqr(1-v2/c2)) и т.п. Таким образом: ui = (1 / sqr(1-v2/c2), v / (c sqr(1-v2/c2))). (7,3) Учитывая, что временная компонента здесь идет под индексом "0", а у нас под номером четыре, замечаем, что это выражение соответствует собственной 4-скорости в наших обозначениях: b = (b/с, iγ) = (vγ/с, iγ). Отметим, что 4-скорость есть величина безразмерная. Компоненты 4-скорости не независимы. Замечая, что dxidxi=ds2, имеем: uiui = 1. (7,3) Геометрически ui есть единичный 4-вектор касательной к мировой линии частицы. Аналогично определению 4-скорости, вторую производную wi = d2xi / ds2 = dui / ds = dui / (cdτ) можно назвать 4-ускорением. Это действительно 4-ускорение. Это ускорение соответствует второму из наших 4-ускорений, выписанных ниже. Но во второй закон Ньютона входит пространственная компонента первого уравнения 1. dB/dt = (db/dt,
i(bdb/dt) / γc), Дифференцируя соотношение (7,3), найдем: uiwi = 0, (7,4) т.е. 4-векторы скорости и ускорения взаимно ортогональны. Да, и полные размерные dB/dt, и dB/dτ, и единичные безразмерные db/dt и db/dτ ортогональны собственной 4-скорости, и полной размерной B, и единичной безразмерной b. Задача Определить релятивистское равноускоренное движение, т.е. прямолинейное движение, при котором остается постоянной величина ускорения w в собственной (в каждый данный момент времени) системе отсчета. Р е ш е н и е. В системе отсчета, в которой скорость частицы v = 0, компоненты 4-ускорения равны wi = (0, w/c2, 0, 0) (w - обычное трехмерное ускорение, направленное вдоль оси x). Релятивистски инвариантное условие равноускоренности должно быть представлено в виде постоянства 4-скаляра, совпадающего с w2 в собственной системе отсчета: wiwi = const = - w2/c4. В "неподвижной" системе отсчета, относительно которой рассматривается движение, раскрытие выражения wiwi приводит к уравнению d(v / sqr(1-v2/c2)) / dt = w, или v / sqr(1-v2/c2) = wt + const. Согласно нашим обозначениям этой записи соответствует db/dt = w, или b = wt + const. То есть, поскольку w=const, то и db/dt=const, и dρ/dτ=const, т.к. dρ/dτ=db/dt. Ускорения других типов связаны с этим ускорением через γ в некоторой степени, а γ не является константой, поскольку зависит от скорости, следовательно, другие типы ускорений не являются константами для релятивистски равноускоренного движения. Полагая v = 0 при t = 0, имеем const = 0, так что v = wt / sqr(1+w2t2/c2). Интегрируя еще раз и полагая x = 0 при t = 0, получим: x = (c2/w) / (sqr(1+w2t2/c2) - 1). При wt значительно меньше c эти формулы переходят в классические выражения v = wt, x = wt2/2. При wt --> "бесконечность" скорость стремится к постоянному значению c. Собственное время равноускоренно движущейся частицы дается интегралом 0∫ t sqr(1-v2/c2) dt = (c/w) Arsh wt/c. При t → ∞ оно растет по значительно более медленному чем t закону (c/w)ln(2wt/c). ЛИТЕРАТУРАЛандау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая Физика, том 2, Теория Поля, М. "Наука", 1988. Вперёд: Релятивистская ракета.
|