Интервал в СТО.
Назад: Параметр быстроты Ψ, быстрота ρ.
Трехмерное пространство (x, y, z) и время (t), сливаясь в один четырехмерный континуум (x, y, z, ict), уже не является евклидовым четырехмерным пространством (x, y, z, u), но может быть отображено на него. При этом метрические свойства самого пространства-времени (x, y, z, ict) и метрические свойства его отображения на (x, y, z, u) не совпадают. Отображение здесь следует понимать, как воображаемое приведение в соответствие точек пространства-времени (x, y, z, ict) точкам четырехмерного евклидового пространства (x, y, z, u). Воображаемое приведение в соответствие можно свести к реальному приведению в соответствие, если мы избавимся от двух пространственных измерений, к примеру от осей y и z, и нарисуем двухмерное пространство-время (x, ict) на плоском евклидовом рисунке (x, u). Расстояния между точками на рисунке в общем случае уже не равны расстояниям между событиями в пространстве-времени. Да и само понятие расстояние между событиями уже не соответствует тому смыслу, к которому мы привыкли в повседневной жизни. Поэтому пространство-время называют псевдоевклидовым пространством.
В евклидовом пространстве, при переходе из одной системы координат в другую систему, повернутую на какой-то угол, длина стержня r=(Δx2+Δy2+Δz2)1/2 не меняется, а величины Δx, Δy, Δz, являющиеся проекциями стержня на соответствующие оси координат, меняются. Поэтому расстояние между концами стержня, или его длина r является инвариантом, а изменяющиеся проекции Δx, Δy, Δz не являются инвариантами. Длина такого стержня будет только положительной, и одной и той же в любой системе отсчета, повернутой относительно исходной на какой-то угол.
Рассматривая не только повороты одной системы координат относительно другой системы, но и их движения, мы обязаны включить в рассмотрение время и перейти от пространства к пространству-времени. При этом мы теряем инвариант r=(Δx2+Δy2+Δz2)1/2, поскольку движущийся стержень претерпевает продольное Лоренцево сокращение. Но в силу того, что показания часов на концах движущегося стержня отличаются друг от друга на Δt, мы получаем другой инвариант: s=(Δx2+Δy2+Δz2-c2Δt2)1/2, который называют интервалом. Выбор знаков в этой записи (сигнатура) не является общепринятым. Согласно нашему выбору сигнатуры, интервал s будет равен положительному числу, если величина r2=Δx2+Δy2+Δz2 больше c2Δt2. Такой интервал называется пространственноподобным. При этом можно найти такую систему отсчета, где разность времени между событиями, измеряемая нашим псевдоевклидовым четырехмерным стержнем, будет равна нулю. Это та система, где и измеряемый предмет, и четырехмерный измерительный стержень, покоятся друг относительно друга. Если r2 оказывается меньше, чем c2Δt2, то интервал будет времениподобным и будет равен некоторому мнимому числу. В разных системах координат, движущихся с разными скоростями относительно друг друга, величины r2 и c2Δt2 могут быть разными, но значение интервала будет одним и тем же. При этом можно найти такую систему отсчета, где пространственное расстояние r между событиями, измеряемое нашим четырехмерным стержнем, будет равно нулю. В этой системе отсчета интервал будет ориентирован параллельно её оси времени.
Если мы рассматриваем интервалы между событиями, одно из которых попадает на начало отсчета, то в записи для интервала можно избавиться от знаков Δ, т.е. s=(x2+y2+z2-c2t2)1/2.
Знаки в записи квадрата интервала x2+y2+z2-c2t2 можно сделать одинаковыми, вводя вектора двух сортов: ковариантные и контравариантные, либо вводя мнимую единицу i=(-1)1/2.
s2=x2+y2+z2+(ict)2.
Но от этого пространство-время не становится евклидовым, а остается псевдоевклидовым.
Интервал в пространстве-времени и модуль комплексного числа.
Для удобства координатных построений отбрасывают пару пространственных координат, а на чертежах оставляют ось x и ict. Измеряя линейкой расстояние между какими-нибудь двумя точками на комплексном чертеже, мы получаем модуль комплексного числа, (r2+(ct)2)1/2, а эта величина не равна интервалу, (r2+(ict)2)1/2=(r2-(ct)2)1/2. Модуль комплексного числа получают извлечением корня из произведения комплексного числа x+iy на комплексно сопряженное число x-iy. Квадрат интервала напоминает скалярное произведение вектора самого на себя. Как же тогда измерить интервал? Это ведь все равно, что пытаться измерить линейкой расстояние между сегодняшней тумбочкой и вчерашним углом стола. Как ни крути линейку, а до вчерашнего стола ты уже не дотянешься. Но этот интервал все же можно вычислить. Линейкой меряем пространственное расстояние, а по часам отсчитываем временной промежуток. Подставляем в формулу (r2-(ct)2)1/2, и получаем значение интервала. Точно также и на комплексном чертеже: измеряем по отдельности x, и ict линейкой. Далее проводим вычисления и видим, что интервал s может быть как положительным числом, так и чисто мнимым, а квадрат интервала s2 будет положительным, или отрицательным. Величина (r2+(ct)2)1/2 может быть названа модулем A радиус-вектора A=(r, ict), а далее использоваться для представления комплексного числа в тригонометрической и показательной формах:
A = (r, ict) - алгебраическая форма;
A = A·(cosΦ, i·sinΦ) - тригонометрическая форма;
A = A·exp(iΦ) - показательная форма.
Иногда вместо запятой в формах записи комплексного числа ставят знак плюс r+ict, но комплексное число это одна точка в комплексной плоскости, а не сумма чисел.
Если модуль комплексного числа равен единице (A=1), то все комплексные числа, удовлетворяющие этому условию, лежат на окружности радиуса единица. Если же мы переходим от модуля комплексного числа A=((r+ict)(r-ict))1/2=(r2+c2t2)1/2 к интервалу s=(r2+(ict)2)1/2=(r2-c2t2)1/2 между началом координат (0+i0) и комплексным числом (r+ict), то мы можем получить две псевдоокружности: одна радиуса R=s=1, вторая радиуса R=s=i.
Псевдоевклидовы окружности. Псевдоокружность радиуса единица изображена двумя синими гиперболами. Псевдоокружность радиуса i изображена зелеными гиперболами. Квадрат интервала и сам интервал между центром рисунка и любой точкой правой или левой гиперболы равен единице. Квадрат интервала между центром рисунка и любой точкой верхней или нижней гиперболы равен минус единице, а соответствующий интервал равен мнимой единице i. Интервал от центра рисунка до любой точки асимптот, показанных красным цветом, равен нулю.
Дальше: Четырехмерные скорости.
Назад: Параметр быстроты Ψ,
быстрота ρ.
К оглавлению раздела Некоторые вопросы СТО.
К другим разделам Космической Генетики.
Из Википедии.
[1] 4-векторы впервые рассмотрели Пуанкаре (1905) и затем Минковский. Они рассматривали временную компоненту 4-вектора чисто мнимой, что автоматически порождало нужное правило вычисления скалярного произведения при обычном суммировании произведений компонент.
4-вектором (четырёхвектором, четыре-вектором) называется вектор в четырёхмерном пространстве вещественных чисел. Координаты 4-вектора при переносе или повороте системы отсчёта преобразуются как соответствующие им координаты в пространстве Минковского. В 4-векторе одна временная компонента и три пространственных.
В современных обозначениях временной компоненте обычно соответствует индекс 0 (то есть она считается нулевой компонентой), пространственным: 1,2,3 — совпадающим с x, y, z (обычно, по умолчанию и если возможно, это обычные прямоугольные декартовы координаты). В старой литературе часто используется соглашение (восходящее к Минковскому), по которому временная компонента считалась не нулевой, а четвёртой.
Иногда бывает удобно приписывать временной компоненте 4-вектора чисто мнимый характер (всегда умножать действительную временную компоненту на мнимую единицу). Такое представление 4-векторов было исторически введено первым, однако не слишком редко — в силу своего удобства — используется и в современной литературе.
4-векторы (их компонентное представление) могут быть записаны в контравариантной и (или) ковариантной форме (см. ниже), которые не всегда совпадают, а в случае действительного представления (без мнимой единицы) всегда различаются между собой...
Скалярные произведения (в частности, квадраты) 4-векторов вычисляются с использованием метрики Лоренца.
Они инвариантны относительно преобразований Лоренца. Они называются скалярами (в четырёхмерном — пространственно-временном — смысле).
Например, это интервал (квадрат интервала есть квадрат вектора перемещения в метрике Лоренца), масса (масса покоя) — её квадрат есть, с точностью до постоянного множителя, квадрат 4-импульса: m2 = E2 / c4 − p2 / c2 и т. д.
1.