Четырехмерные скорости.

Четырехмерный радиус-вектор точки в может быть представлен так:

R = (x, y, z, ict) = (r, ict),

где r - трехмерный радиус вектор точки. Для наглядности далее четырехмерные вектора будем подчеркивать. Единицами измерения компонент вектора R являются метры. Если мы разделим все компоненты на с, то получим 4-вектор r, компоненты которого измеряются в секундах,

r = (x/c, y/c, z/c, it) = (r/c, it).

Четырехмерную скорость обычно записывают либо в таком виде:

U = dR/dτ = (γv, icγ),

либо в виде, нормированном к единице:

u = dr/(dτ) = (γv/с, iγ).

Замечаем, что и та, и другая запись выглядят проще, если в них заменить γv на b. Кроме того, поскольку существует два типа трехмерных скоростей: координатная и собственная, то должно существовать, и два вида 4-скоростей. Величины U и u логически правильнее называть собственная 4-скорость, поскольку они получены дифференцированием по собственному времени. Поэтому обозначения U и u заменим на B и b, и перепишем уравнения:

B = dR/dτ = (b, icγ),
b = dr/dτ = (b/с, iγ).

Далее логично предположить, что координатная 4-скорость получается при дифференцировании 4-радиус-вектора по координатному времени:

V = dR/dt = (v, ic),
v = dr/dt = (v/с, i).

Возводя полученные 4-векторы в "скалярный квадрат", получим следующие скаляры:

B² = b² + (icγ)² = - c²,

b² = (b/c)² + (iγ)² = - 1,

V² == v² + (ic)² = - (c/γ)²,

v² = (v/c)² + i² = - 1/γ².

Замечаем, что квадрат собственной 4-скорости является инвариантом. Квадрат координатной 4-скорости не является таковым.

В литературе продолжают бушевать дискуссии: "Зависит ли масса от скорости?" Одни говорят, что масса инвариантна, и что релятивистская масса есть ненужная сущность. Другие говорят о зависимости массы тела от его скорости. Фактически существует два математических формализма, два взгляда на одни и те же вещи. Но как будет показано ниже, формализм, предполагающий зависимость массы тела от его скорости, является ущербным, поскольку "релятивистская" масса забирает коэффициент γ у собственной скорости. Но собственная скорость измерима, а значит реальна. Кроме того, СТО дает ясные результаты, если есть инварианты. А таковым является интервал s, объединяющий r и ict в единый четырехвектор R. Другим инвариантом является масса тела, независящая от его скорости. Если мы умножим вектор собственной 4-скорости на инвариантную массу m, то получим новый 4-вектор, - энергию-импульс:

P = mB = (mb, micγ) = (p, iE/c).

Тем не менее, такое же самое выражение, можно получить, если умножить вектор координатной скорости на релятивистскую массу m_r:

P = Vm_r = Vm₀γ = (m₀γv, im₀cγ) = (p, iE/c),

где m_r - релятивистская масса, а m₀ - масса покоя. В первом случае инвариант есть произведение двух инвариантов, во втором случае инвариант есть произведение двух величин, отличающихся от инвариантов коэффициентом γ.

Возведя 4-импульс в "скалярный квадрат" и, воспользовавшись формулой E²=p²c²+m²c⁴, мы получим новый инвариант:

(p² + i²E²/c²) = -E₀²/c²,

который при умножении на -c², дает квадрат инвариантной энергии покоя E₀, а при делении на -c², - квадрат инвариантной массы.

Итак, замечаем, что энергия покоя существует в обоих математических формализмах СТО.

Трехмерный импульс выглядит красивее в записи через собственную скорость b, чем через координатную скорость v:

p = mb = mγv.

Если трехмерный импульс записать через релятивистскую массу, то выражение, содержащее собственную скорость, усложняется:

p = m_rb/γ = m_rv.

Тем не менее, и здесь заметна симметрия между координатной и собственной скоростями.

Если мы возьмём производную dP/dt, то получим 4-вектор силы:

F = dP/dt = (f, imγ³(vdv/dt)/c) = (f, i(vf)/c) = (f, iN/c),

где, f - трёхмерный вектор силы; N - мощность силы.

Если же мы возьмём производную по собственному времени dP/dτ, то получим 4-вектор

F = dP/dτ = (fγ, imγ⁴(vdv/dt)/c) = (fγ, iγ(vf)/c),

который при параллельных v и f дает F² = f².

Дальше: Виды ускорений.
Назад: Интервал в СТО.
К оглавлению раздела Некоторые вопросы СТО.

Последнее обновление страницы: 03 марта 2006 года.

Из Википедии.

^[1] In physics, in particular in special relativity and general relativity, the four-velocity of an object is a four-vector (vector in four-dimensional spacetime) that replaces classical velocity (a three-dimensional vector). It is chosen in such a way that the velocity of light is a constant as measured in every inertial reference frame.

In relativity theory events are described in time and space, together forming four-dimensional spacetime. The history of an object traces a curve in spacetime, parametrized by a curve parameter, the proper time of the object. This curve is called its world line. The four-velocity is the rate of change of both time and space coordinates with respect to the proper time of the object. The four-velocity is a tangent vector to the world line.

For comparison: in classical mechanics events are described by their (three-dimensional) position at each moment in time. The path of an object is a curve in three-dimensional space, parametrized by the time. The classical velocity is the rate of change of the space coordinates of the object with respect to the time. The classical velocity of an object is a tangent vector to its path.

The length of the four-velocity (in the sense of the metric used in special relativity) is always equal to c (it is a normalized vector). For an object at rest (with respect to the coordinate system) its four-velocity points in the direction of the time coordinate...

А вот и о собственной скорости!

In terms of the yardsticks (and synchronized clocks) associated with a particular slice of flat spacetime, the three spacelike components of 4-velocity define a traveling object's proper velocity i.e. the rate at which distance is covered in the reference map-frame per unit proper time elapsed on clocks traveling with the object.

1. Four-velocity